吾欲揽六龙：为什么感觉国外的教材都比国内的厚得多？

有一类教材厚的原因似乎没有人提，这类书的厚有别于托马斯微积分的这种厚

有一些作者注意到了看似平凡的事物是高度不平凡的。国内许多教材恰恰相反，把高度不平凡的东西写的非常的平凡且无聊…

所以前者厚，后者薄。

为了能让你也注意到这种不平凡，国外的某些教材需要授予你一些preliminaries并且拔高你的数学成熟度。

看《陶哲轩实分析》之前我真没想过从自然数到实数这个过程居然这样的不平凡…

他用了五章的内容来进行准备工作

为什么做分析到自然数到ZFC到有理数到实数。这个过程的起步部分我证明了加法和乘法的结合律和交换律，我还会证 $1＋1＝2$ 1＋1＝2 了。

也就是

$(0＋＋)＋1＝(0＋1)＋＋＝1＋＋$ (0＋＋)＋1＝(0＋1)＋＋＝1＋＋

这些东西真的没那么平凡…

交换律的证明用了三次数学归纳法…

有些教材讲实数我真的不知道在讲什么✈

哦对了，很多书是把数学归纳法当作一个公理。

但Rotman 的书里给出了数学归纳法的证明，基于良序原理…这样它俩就是等价的了

思路是假设存在一个 $\mathbb {N}$ \mathbb {N} 的子集 $\mathscr C$ \mathscr C 使得命题 $P$ P 不成立了

然而 $\mathbb N$ \mathbb N的子集一定有一个最小元 $m$ m ，于是 $m-1\notin \mathscr C$ m-1\notin \mathscr C

然而如果 $P(m-1)$ P(m-1) 为真，那么 $P(m)$ P(m) 为真，矛盾。

这里用到了良序原理，一般来说它是由数学归纳法证明的。

$良序性质：自然数系的任一非空子集S有一个最小元素，即存在一个m∈S使得对所有x∈S都有x⩾m。\\ 证：如果S包含0，则0是S的最小元素。\\假设：如果S包含n，则S有一个最小元素。由此证明，如果S包含n+，则S有一个最小元素。作S′=S∪{n}。根据归纳假设，S′有一个最小元素m，若m∈S，则m就是S的最小元素。假设m∉S，则必有m=n，因而n∉S且n<a，对所有的a∈S。于是，根据上面的说明可以断定n−⩽a对所有a∈S。根据假设n+∈S，所以n+是S的最小元素。$ 良序性质：自然数系的任一非空子集S有一个最小元素，即存在一个m∈S使得对所有x∈S都有x⩾m。\\ 证：如果S包含0，则0是S的最小元素。\\假设：如果S包含n，则S有一个最小元素。由此证明，如果S包含n+，则S有一个最小元素。作S′=S∪{n}。根据归纳假设，S′有一个最小元素m，若m∈S，则m就是S的最小元素。假设m∉S，则必有m=n，因而n∉S且n<a，对所有的a∈S。于是，根据上面的说明可以断定n−⩽a对所有a∈S。根据假设n+∈S，所以n+是S的最小元素。

所以良序原理和数学归纳法在皮亚诺算术公理下等价...

另外我想吹一下700 页的大厚本 $\rm GSM\,\,104$ \rm GSM\,\,104 $Algebra:\,Chapter\,\,0$ Algebra:\,Chapter\,\,0

$Algebra:\,Chapter\,\,0$ Algebra:\,Chapter\,\,0 对我来说真的是

随风潜入夜，润物细无声。

不看这书我都不知道我什么时候才能接触到范畴论。

我今天思考数学经常会用到一些范畴的一些很基本的思想，没有范畴论对很多东西我都不能很好的理解，也没有办法注意到那种不平凡性。

比如群是 $\mathrm{Aut}$ \mathrm{Aut} ，而同时考虑 $\rm Ob$ \rm Ob 和 $\rm Aut$ \rm Aut 的话那么 $\rm group\,morphism$ \rm group\,morphism 是 $\rm functor$ \rm functor